隨著我國新一輪高中數學課程改革的深入發展, 教材作為數學課程改革中一個不可忽略的因素,其建設的必要性、迫切性被人們所認同. 但怎樣改革才更有效、更合理地貫徹高中數學課程標準的基本理念與要求?借鑒與參考國外教材的一些做法, 無疑會促進我們的教材改革工作. 為此, 筆者選取美國部分學校正在使用的一套高中數學教材(以下簡稱教材[1 ]) , 美國芝加哥大學開發的中學數學教材(以下簡稱教材[2 ]) 兼及其他高中數學教材, 探討其對我國高中數學教材建設的幾點啟示.

1 應進一步加強數學應用

美國高中數學教材十分重視數學應用,特別是在實際生活中的應用. 本文所涉及的數套教材更是從多角度、多層次編排了數學應用的內容, 教材中有關數學應用的例子和習題比比皆是. 例如, 教材[1 ] 在習題部分中專門設計了應用版塊,其內容涉及物理學、化學、生物學、地理、歷史、建筑、文化、商業、家庭理財等多方面. 教材[2 ] 更是以應用和模型化為主線,結合純數學的體系編排教材內容.與上述應用相關的一個問題是, 教材[2 ] 中許多內容進行了“模型化”處理, 也值得我們在教材設計中借鑒.

另外, 值得引起注意的是, 教材[1 ] 辟有不少小欄目, 其中有些欄目就是關于數學應用的. 如職業介紹這一欄目, 就是專門介紹各行各業中應用數學的事例. 教材[2 ] 在課文末了的習題部分里, 設有“探究”欄目, 要求學生去調查研究. 如, 調查一下你所在的城市或州里艾滋病人數增長的情況, 并分析怎樣的函數(線性函數, 或指數函數, 或對數函數) 能最好地作為那些數據的模型.應該說,我國的高中數學教材是相當重視數學應用的. 但另一方面, 我們應自覺反對一些簡單做法. 加強數學應用不僅僅是在例題或習題中增加幾個應用題, 而是要在教材中貫穿應用意識, 突出數學應用的思想方法,增強應用的實踐性、綜合性. 從數學應用角度看, 高中數學教材的編寫應特別重視如下兩條基本原理[3 ] : 教材設計力圖追求“社會·知識·學生”的有機統一;教材組織力圖體現“方法·學法·教法”的融于一體.

2 重視問題解決

問題解決是美國數學教育持續關注的熱點話題. 從美國數學課程標準1989 ( 或2000) 看, 其中一個重要的課程目標就是問題解決:通過問題解決建立新數學知識;發展在數學內外的情景中去形式表示、抽象、一般化的氣質; 應用廣泛的各種方法去解決問題并使這些方法適合新的情景; 用解決問題來監控和反映他們的數學思維. 進而, 兩個標準認為具有解決數學問題的能力是具有數學素養的重要標志.

基于這些理念,教材[1 ] 每章都設有專門的課節用于對問題解決策略和應用的介紹.另外,該教材也十分強調問題解決的步驟,具體按:理解問題、設計求解策略、完成解答、解釋結果四步進行說明, 這對培養學生良好的問題解決的習慣是有很大幫助的. 在此基礎上,教材[1 ] 還小結了在問題解決過程中常使用的一些策略. 如,畫圖、列表、建立模型、猜測與驗證、建立子目標等. 下面是教材[1 ] 提供的一個問題解決策略例題:

湯姆有一個長寬大約分別是16 英尺和12 英尺矩形狀花園. 他想現在在原來基礎上擴大相同數目的長和寬, 使其面積增加165平方英尺. 問現在花園的面積是多少?

①理解問題: 已知條件是哪些?湯姆的花園是一個長寬分別是16 和12 英尺的矩形狀花園. 他增加165 平方英尺是通過增加相同數目的長與寬實現的. 結論是什么?問現在花園的面積.

② 設計求解策略(選擇策略) :畫圖、列表如圖 , 令x 表示每邊新增加的長度,那么16 + x 表示現在的長;12 + x 表示現在的寬. 又長方形的面積是長乘寬. 所以,新面積= 原來的面積+ 增加的面積.

③完成解答: (16 + x) (12 + x ) = 16 ×12 + 165 ,192 + 28 x + x2 = 192 + 165 , x2 +28 x - 165 = 0 , ( x + 33) ( x - 5) = 0 因式分解) x = - 33 或x = 5.

④解釋結論:陳述答案, 舍負數解, 每邊應加5 英尺;檢查答案:新面積是否等于原來的面積加上增加的面積呢?現在的長是16 +5 = 21 英尺,現在的寬是12 + 5 = 17 英尺.21 ×17 ?16 ×12 + 165 ,357 = 357 成立.從上述角度反觀我國的高中數學教材建設,其啟示是多方面的.

(1) 創設問題情境是問題解決的首要問題,是把學生引進問題解決的關鍵環節. 因此,教材可抓住學生熟悉的現實問題作為新內容的引入, 這種引入方式不僅有利于創設主動的問題情境, 而且有利于學生體會到數學和每個人都有聯系,數學就在你身邊,從而吸引學生到學習中來.

(2) 數學概念、數學命題等內容應采用問題情境———建立模型———解釋———應用與拓展的基本敘述方式來編排. 很多數學概念,象集合等都是人們從現實世界廣泛抽象而得. 若在教材編排上能從問題情境出發,通過建立模型,逐步抽象出數學概念,然后用其解決實際問題, 可以使學生既認識到數學概念源于現實, 又認識到數學概念應用的廣泛性.

(3) 鼓勵解決問題策略多樣化. 教材應關注學生的個性差異, 其內容設計應反映學生思維方式的多樣化和思維水平的不同層次. 為此, 教材應允許學生表達自己對問題的不同理解, 采取自己認為合適的解決問題策略,呈現解決問題策略多樣化.

(4) 增加實踐內容. 問題解決的過程是一個發現、探索與創造的過程. 因此,讓學生親自參與問題解決的過程就顯得尤為重要.比如,在介紹完指數和對數函數后,可設計一個探索欄目,讓學生到附近銀行看看利率,考慮做一個投資, 在有限時間得到最大回報的方案.

3 　注重數學聯系

3.1 　重視數學不同內容和不同分支間的內在聯系

美國高中數學教材注重滲透數學的整體觀念, 這有助于學生領悟到數學是一個有機整體而不是一堆孤立的東西. 如教材[1 ] 注重函數、方程、不等式的聯系; 向量與幾何、代數、三角恒等變形的聯系. 另外,該教材還甚為重視新舊知識的聯系. 如在引入或講解新概念的時候, 總會采用復習的方式重現一些與新知識相聯系的舊知識.美國高中數學教材處理不同分支間的內在聯系時,比較有代表的處理方法是“使用跨分支的綜合數學教材”[4 ] . 如邁克道格公司出版的《整體數學》,按照該教材的安排,學生在高中的三個年級同時學習代數、幾何的內容,而且,邏輯推理、度量、概率、統計、離散數學和函數等專題在每個學年交替呈現. 12 年級(高中第四學年) 學生可以選學計算機科學或微積分.

盡管我國高中數學課程內容被劃分為不同模塊或專題, 但數學是一個不可分割的整體. 教材編寫應體現相關內容的聯系. 具體做法可以是采用混編方式組織教材內容, 并采用螺旋式方法逐一介紹.

3.2重視數學與生活間的聯系

生活和生產實際是數學發生發展的源泉和動力, 也是展示數學魅力的關鍵所在. 綜觀世界數學課程改革的發展趨勢, 強調數學與現實生活的聯系已成為各個國家課程改革的方向. 美國高中數學教材也不例外.一方面, 教材注重生活問題數學化. 教材[2 ] 中的很多素材就來源于生活實際, 它在其中收集了許多發生在人們生活中的真實的數學問題. 如,據一微波爐的說明書所載,凡食品量p 加倍時, 則煮熟它所需時間T ( p)就增加1. 5 倍. 設煮熟一份食品需用10 分鐘,問煮熟5 份食品所需的時間?(其中T ( p)= 10 p0. 585)

另一方面, 教材注重數學知識生活化.例如[5 ] , 斜率是高中數學的一個重點, 若能把它和日常生活中的速度、頻率聯系起來,學生就會容易理解得多. 所以,在討論y = m x+ b 中的斜率m 時,CM 教材(美國的一套數學教材) 不是一味地討論斜率, 而是變換場景,讓學生從不同感性生活的例子來理解斜率. 如在“走路”這個場景中, m 表示的是速度、時間、距離三變量中的速度; 在“分期付款”的場景中m 則變為每周固定付款的數額;而在“租用溜冰鞋”的場景中m 則成為租借每雙鞋的費用.

3.3重視數學與其他學科的聯系

隨著科學技術的進步和數學自身的發展,數學與其他學科的聯系越來越多. 如物理與數學的聯系較為緊密. 物理為數學提供創設問題的情境, 數學為物理提供解決問題的方法. 如前所述, 教材[1 ] 在注重數學應用中, 就注意數學與物理學、化學、生物學、地理、歷史、建筑學等多方面的聯系. 這使學生在一個比較廣闊的知識上獲得對數學多維度、多層面的認識、獲得對其他學科的真正理解,有助于學生在一個綜合知識背景下形成良好的數學素質.

4 突出數學史內容

從歷史上看, 美國數學教材有重視數學史的傳統. 早期的數學教材中, 常以大幅數學家的照片,冠以每章內容之前,照片下面或者反面則是數學家的簡介,以后逐步變化.教材[1 ] 就非常重視數學史內容, 并注意將數學史知識緊扣教學內容. 有時在教學內容附近介紹有關數學史的內容, 有時則將數學史的內容作為一章或一節的引入材料. 例如,在介紹集合知識的時候,就介紹了十九世紀數學家康托( Georg Cantor 1884 —1918) 發展了測量集合中元素個數的方法, 康托利用一一對應關系, 證明有些無限集合大于其他集合. 如實數集就大于整數集, 盡管兩個集合都有無限多個元素.

另外, 值得引起注意的是, 教材[1 ] 在介紹完數學史后, 設有一個叫做調查的欄目.它在其中提出一些理論與實際的問題, 要求學生去調查研究. 如, 查閱一下康托或其他數學分支應用集合理論的情形.相比之下, 我國教材僅僅把數學史當作“閱讀材料”, 不入正文. 美國教材注重數學史與教材緊密結合的做法值得借鑒. 另外,我們應關注這樣的觀點[6 ] :數學史融入中學數學教材, 應該有總體上合理的布局及介紹的視角, 且所插入的數學史內容應與教材恰當地融合.

5注重數學與信息技術的整合

一方面,信息技術的發展已經深刻地改變了數學世界, 并影響到學生的數學學習內容和學習方式. 另一方面, 隨著信息技術的迅猛發展,數學兼有科學和技術的雙重身份,現代科學技術越來越表現為一種數學技術.數學與信息技術的相互促進與緊密結合, 應反映在數學教育中.

美國數學課程標準(2000) 除了把技術原則作為6 項原則之一外, 還專門為書面版標準配備相應的網絡版標準. 相應地, 美國高中數學教材特別重視計算機和圖形計算器在教與學中的應用. 教材[1 ] 在序言中明確指出,計算機和圖形計算器的應用貫穿全書,恰當的使用這些能幫助學生學習更多的數學,并發展他們對數學的深刻理解. 這使學生把精力集中在問題的思考和探究上, 促進學生的數學學習.

為此,教材[1 ] 的許多地方(如課堂教學、課外作業以及實踐活動) 都涉及信息技術的運用. 例如,計算器的使用,雖然該教材注意學生估算、心算等技能的學習,但也鼓勵學生恰當的使用計算器來解決計算問題. 又例如,動態幾何軟件(或幾何畫板) 在數學活動中的應用等方面. 利用幾何畫板作一次函數的圖象,這既使數學表示精確,而且也使它的動態效果能加深學生對知識的理解和掌握. 另外,該教材更是專門辟有信息技術應用的課節,鼓勵學生應用信息技術進行探究學習等數學活動.

當前,我國的數學課程標準也從多方面強調信息技術與課程內容的整合. 那么, 教材應如何體現整合?這是教材編寫中值得注意和進一步思考的問題.

6呈現方式多樣化

美國高中數學教材注重圖文并茂. 教材較多采用彩色圖畫和照片調動學生的視覺,并在圖片旁邊配以文字說明,而且,文字力求通俗易懂. 另外, 教材把重點內容或概念用彩色或黑體字醒目地標出來, 甚至用不同顏色表示不同版塊的內容. 例如, 教材[1 ] 一般用黑體字標記出標題, 接著用蘭色標記出學生應達到的目標等等. 教材文字部分用詞淺顯,表述生動, 多以短句的方式呈現. 這樣,通過形式多樣的表征手段呈現, 有助于學生充分理解教材內容.